Números, Relaciones, Formas y Símbolos
Números y Relaciones: Matemáticas y Filosofía suelen darse la mano, pues la una llama a la otra en un enlace mental prácticamente indisoluble. Desde que tenemos referencia histórica esto ha sido así. Incluso hoy en día, donde las matemáticas son teóricamente abstractas, éstas informan a otros dominios del conocimiento y son informadas por otras concepciones (filosofía, lógica, física, epistemología, etc.).
Los números fueron el primer objeto de estudio de las matemáticas para pasar después a sus relaciones. En este sentido los números se asimilaban a entes simbólicos que representaban a entidades metafísicas de carácter místico-religioso (pitagorismo, platonismo) y sus relaciones como las que estas entidades metafísicas mantenían entre sí. Muchas de las veces, los problemas matemáticos involucraban concepciones más amplias que se extendían más allá del ámbito de lo puramente matemático. La Cuadratura del Círculo es un buen ejemplo de ello. Su esencia metafísica apunta hacia la relación existente entre lo Celeste (el Círculo) y lo Terrestre (el Cuadrado). En este sentido es una suerte de religión al intentar religar (volver a unir) lo divino con lo humano, y ya hemos visto brevemente, su repercusión histórica.
Formas y Símbolos: Teniendo en cuenta esta concepción de la Matemática, las formas y los símbolos geométricos (expresión sintética de los números y sus relaciones), decantados en el tiempo por las distintas culturas, adquieren una dimensión de lenguaje universal que puede aportarnos información esencial sobre los problemas existenciales del ser humano y de cómo éste los ha enfrentado.
Las pirámides, construcciones basadas en formas geométricas y en sus relaciones numéricas, son un buen ejemplo de lo dicho. Lo mismo podemos decir de las Catedrales y de otras muchas construcciones emblemáticas. Pero quizás los símbolos geométricos de las religiones, y también de algunas ideologías, pueden condensar, en si mismos, una cosmovisión arquetípica de la existencia, que infunde una poderosa información, a nivel inconsciente, sobre las culturas y los grupos humanos a los que conforma y dirige en un determinado sentido histórico.
El Punto y el Círculo:  Símbolo arcaico de la Divinidad Solar. El punto central del Uno adimensional y el círculo de la manifestación del Todo inconmensurable. |
El Cuadrado y la Cruz:  Representado en muchas culturas en sus distintos aspectos, es la cuádruple manifestación. Los cuatro elementos, los cuatro vientos, los cuatro puntos cardinales, la Cruz de la Materia, etc. |
El Yin-Yang:  De la cultura oriental, en donde el círculo de la Totalidad (Tao) engloba la función senoidal de la manifestación cíclica de la vida. |
El Hexágono-Estrella de David:  De la cultura judía, que aúna en si el triángulo de la materia (hacia abajo) con el triángulo del espíritu (hacia arriba). |
El Octógono-Estrella de ocho puntas:  Muy difundido en la cultura musulmana. Engarza el cuadrado (materia) en equilibrio dinámico con el cuadrado en equilibrio estático. |
El Pentágono-Estrella de cinco puntas:  Símbolo esotérico fundamental de la cultura occidental. Representa la interrelación cósmica entre lo Celeste y lo Terrestre, por la mediación del hombre. |
Leonardo fue el genio que supo fusionar las relaciones numéricas con las formas, para expresar, por medio de la belleza, la armonía del hombre con el Cosmos.
¡El Canon de las Proporciones!
O como la Armonía de las Relaciones se expresa en la Belleza. Si una relación numérica armoniza a una determinada forma, esas proporciones se manifiestan en la belleza de sus formas.
Durante el Renacimiento afloró una conciencia plena de este hecho en el ámbito del Arte, pero es con Leonardo da Vinci donde se contempla la plenitud de esta conciencia en todos sus aspectos.
Las Proporciones del Hombre: Es el título de este dibujo realizado por el genial Leonardo. La presente reproducción es la digitalización de una foto del original, por lo que guarda sus mismas proporciones. En este dibujo se observan las siguientes relaciones:
- La altura del hombre iguala la longitud de los brazos extendidos horizontalmente y es la medida para el lado del cuadrado que enmarca la figura.
- Tomando como centro el ombligo del hombre, con los bazos extendidos en X, hasta las puntas de los dedos, y también hasta los pies, se obtiene el radio con el que se traza una circunferencia que rodea la figura.
- El centro de la circunferencia es coincidente con el ombligo.
- El centro del cuadrado coincide con la zona de los genitales.
- Dividiendo la figura trasversalmente en ocho partes iguales (octava), se obtienen las proporciones ideales del canon de belleza clásico del griego Lisipo, quien estableció que la altura del cuerpo debe ser igual a la de ocho cabezas (en el Apolo del Belvedere).
- Según este canon el ombligo debería estar exactamente a la altura de 5/8, pero está ligeramente más abajo (sobre los 4,7/8). Este leve desplazamiento es muy significativo y no casual, como veremos a continuación.
¡En el Hombre está la Clave!
Sin duda, Leonardo se planteó el problema de la cuadratura del círculo y de como resolverlo. Su dibujo del hombre arquetípico expresa inequívocamente la relación que la forma humana armónica establece, entre la dimensión cuadrada de lo terrestre y la dimensión circular de lo celeste.
Analicemos el Dibujo:
¡Nada es casual, siempre hay alguna relación!
Siguiendo las normas de proporcionalidad del canon clásico del cuerpo humano (Lisipo), el ombligo se tendría que haberse situado exactamente en los 5/8. Sin embargo está desplazado unas pocas décimas de octava hacia abajo (entre 4,7/8 y 4,9/8), por lo que el radio se encuentra en un valor en torno al 0,6 (4,7/8 = 0,5875 y 4,9/8 = 0,6125).
¿Imprecisión del dibujo?, ¿desconocimiento del canon proporcional?, ¿descuido casual?...
Ninguna de las interrogantes anteriores serían propias de una mente como la de Leonardo, lo lógico es pensar que las proporciones son las más apropiadas para obtener una buena aproximación de la cuadratura del círculo, según nos sugieren los datos implicados en el dibujo de las Proporciones del Hombre.
¡Calibrando el Centro!
Como el problema es crítico, intentaremos determinar con la mayor exactitud posible, la relación utilizada por Leonardo.
Ajustaremos el lado del cuadrado según la escala del canon clásico y también según la escala utilizada por el propio Leonardo en su dibujo (ver en el dibujo bajo la base del cuadrado). Con la octava de proporcionalidad del canon clásico, el centro del ombligo se sitúa entre los 4,8/8 y los 4,9/8, lo que supone que el valor para el radio está comprendido entre 0,6 y 0,6125 respectivamente.
Utilizando la escala de Leonardo, coincidente con la clásica aunque en una fracción equivalente mayor (8/8 x 3/3 = 24/24), el ombligo se sitúa entre los 14,5/24 y los 14,75/24, lo que supone un valor del radio comprendido entre 0,60416 y 0,614583 respectivamente.
Estos valores son orientativos, pero el valor exacto queda aún por determinar, pues los datos se han obtenido midiendo con escalas proporcionales, sin utilizar ningún método geométrico-matemático que determine con exactitud el centro.
Tras la pista del método utilizado:
Según las fuentes documentales, el dibujo de Leonardo estaría basado en las teorías del arquitecto romano Marco Vitruvio sobre la aplicación de la sección áurea al ser humano, en relación a que:
La proporción que guarda la distancia de la cabeza al ombligo y de éste a los pies, debe ser la misma que la proporción que guarda entre la distancia desde ombligo a los pies y desde la cabeza a los pies.
¡La Proporción Áurea o Divina!
Desde la antigüedad, muchos filósofos, matemáticos y artistas se han interesado por la proporción o sección áurea, también durante el Renacimiento donde la llamaron “ La Proporción Divina”.
En matemáticas, se entiende por proporción áurea a la proporción geométrica que se obtiene al dividir un segmento dado AB en dos partes, de tal manera que el cociente entre la longitud del segmento mayor AC y la longitud del segmento dado AB es igual al cociente entre la longitud del segmento menor CB y la del segmento mayor AC.
El punto C crea una sección áurea en el segmento rectilíneo AB si ocurre que AC/AB = CB/AC.
El punto C crea una sección áurea en el segmento rectilíneo AB si ocurre que AC/AB = CB/AC.
Esta proporción tiene el valor numérico 0,618, que se puede calcular de la siguiente manera: si AB = 1 y la longitud de AC = X, entonces: AC/AB = CB/AC se convierte en X / 1 = (1 - X) / X ; X2 = 1 – X ; X2 + X - 1 = 0. Resolviendo esta ecuación de 2º grado: X = AC = 0,618033988.
Veamos esta proporción en el dibujo de Leonardo:
El valor obtenido por la proporción áurea para el radio AC es: 0,6180339. Este valor es mínimamente superior al máximo esperado en las mediciones realizadas según el canon proporcional: comprendido entre 0,587 y 0,6125, y también por el de la escala utilizada por Leonardo: 0,60416 y 0,614583.
Aunque las diferencias sean mínimas resultan críticas, al no producirse un ajuste dentro del margen de valores esperado, lo que nos permite suponer otros posibles planteamientos.
¡Método Geométrico de la Proporción Áurea!
¿Casualidad o inspiración inconsciente?... Para mayor sorpresa mía al repasar los cálculos realizados en el presente estudio descubrí lo siguiente:
El método geométrico de las tangentes (que me fue sugerido por el de las Catedrales) da el mismo resultado que la proporción áurea: 0,618033988. No es fruto de la coincidencia, se debe a que dicho método es exactamente la correspondencia geométrica de la proporción áurea.
Comprobémoslo:
Queda demostrado, de este modo, que el Método de las Tangentes permite construir el círculo cuyo radio es la Sección Áurea del lado del cuadrado unidad.
¡Es el método exacto para el dibujo de Leonardo!, si aceptamos que Leonardo lo hizo según la proporción áurea...
¡Aplicando el Método de la Sección Áurea!
Al disponer de un método geométrico de construcción, matemáticamente equivalente al de la sección áurea, es posible construir exactamente el círculo de cuadratura a partir del cuadrado unidad, según pudo haberlo hecho el propio Leonardo, a no ser que lo desconociera y hubiera utilizado una escala aproximativa no exacta.
En cualquier caso lo mejor es verificarlo, para lo cual construiremos el círculo de cuadratura sobre el cuadrado unidad y luego los trasladaremos sobre el propio dibujo del hombre (digitalización proporcional) según la posición que ocupan en éste, es decir, el círculo tangente a la base del cuadrado.
Veámoslo:
¡Buscando una conclusión!
Ante estos hechos solo caben tres posibles conclusiones: o bien el dibujo es impreciso, o bien se desconocía el método geométrico de construcción y Leonardo utilizó una escala aproximativa para la sección áurea, que explicaría la ligera diferencia en el dibujo, o bien utilizó otro método geométrico de construcción.
De las tres posibilidades optaremos por la tercera, que es la que nos parece más probable o al menos la que nos brinda una nueva posibilidad aún no explorada, más aún si tenemos en cuenta lo dicho por el propio Leonardo:
“No hay estudio del hombre que merezca llamarse ciencia si no se basa en la demostración y argumentación matemática.
Que nadie se atreva a adentrarse en los fundamentos de mi obra si no es matemático”.
Que nadie se atreva a adentrarse en los fundamentos de mi obra si no es matemático”.
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