¡Diseñando soluciones prácticas!
La Obra realiza la Idea: La obra es la expresión concreta de la idea, sin obra no hay realización de la idea.
Manos a la Obra:
Observando los valores encontrados, desde la aproximación más cercana al valor teórico, hasta la aproximación más alejada, vemos:
VALORES | DEL RADIO | DEL ÁREA |
Teóricos | ~ 0,56 | ~ |
Más Cercanos | ~ | ~ |
Más Frecuentes | ~ | ~ |
Más Alejados | ~ | ~ |
El Primer Método: Para el diseño de soluciones prácticas nos interesa básicamente el valor del radio, que es el que nos permite construir las círculos. Los valores de éstos se deslizan entre el teórico de 0.56 y un promedio de 0,60.
El método general para conseguir estos valores y los intermedios es sencillo: Consiste en dividir el lado del cuadrado (L= 1) en 10 segmentos iguales (división proporcional de Tales) y tomar fracciones (5/10; ...; 6/10) como valor del radio de cuadratura.
La División del Lado. Un método práctico general:
Proporcionalidad del Radio de Cuadratura:
Método inverso a la División del lado del Cuadrado
Método inverso a la División del lado del Cuadrado
Retomando el planteamiento original: Visto como ir de lo sencillo a lo complejo, resulta más fácil ahora ir a la inversa, conforme al planteamiento original de los griegos.
Dado un círculo, encontrar el cuadrado de superficie igual (aproximada) a dicho círculo, es el planteamiento original. Su solución nos proporcionará un método general para cualquier aproximación de las ya calculadas.
La Solución General:
El método de construcción:
Trasladar la dimensión del radio del círculo dado a continuación de éste. En su extremo inicial trazar un segmento inclinado que dividiremos en 10 partes iguales (división proporcional de Tales) y en su zona intermedia de aproximación (de 5 a 6), tantas divisiones decimales como aproximaciones queramos.
A continuación trazar una recta desde la aproximación decimal deseada al extremo final del radio trasladado, esto nos dará la fracción decimal del radio de cuadratura en relación al lado del cuadrado, el cual estará determinado por la intersección de una paralela en el extremo (10) del segmento de división proporcional, con la prolongación del radio trasladado.
Este punto de intersección nos da la dimensión del lado del cuadrado, por lo que tomando su mitad como radio (rcir. = L/2) y con centro en el del círculo dado, trazaremos un círculo que será el inscrito en el cuadrado. Trazando las tangentes a este círculo tendremos construido el cuadrado que buscamos.
Método para la Aproximación π / 3
- En la sucesión numérica: π ; π / 2; A3; π / 4; ... ; π / n; ...; vista anteriormente, concluíamos que el término A3 = π / 3.
- Este término nos daba unos valores de aproximación muy cercanos a los valores teóricos (A = 1, R = 0,564189583):
- Para el área del círculo de cuadratura: A3 = π / 3 ~ 1,047197551
- Y para el radio del círculo: R3 = / 3 = 0,577350269
A continuación estableceremos su método geométrico:
- Partimos de la igualdad: A3 = π / 3 = π . r2
- Simplificamos ambos miembros: 1 / 3 = r2
- Despejamos el Radio. r = 1 /
- Racionalizamos denominadores: r = 1 / √ 3 = √ 3 / 3
- Quitamos denominadores: 3r =
- Elevamos al cuadrado ambos miembros: (3r)2 = 3
- Descomponemos 3 (3 = 4-1) en una diferencia de cuadrados: (3r)2 = 22 - 12
- Despejamos 22: 22 = (3r)2 + 12
- Según el Teorema de Pitágoras, la Hipotenusa al cuadrado: 22 es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: (3r)2 + 12
- Esto nos permite establecer que: Hipotenusa = 2, un cateto = 3r, y el otro cateto = 1
- Los valores encontrados son los datos básicos del cuadrado y el círculo de cuadratura: 2 --> doble del lado del cuadrado; 1 --> lado del cuadrado; 3r --> triplo del radio del círculo de cuadratura.
- Lo que nos permite construir un triángulo rectángulo donde el radio de cuadratura está en función del lado del cuadrado: (3r)2 = 22 - 12
- Por tanto la construcción de dicho triángulo resulta ser el método geométrico que nos determinará el valor exacto del radio de cuadratura:
Método de Construcción para la Aproximación π / 3
Partiendo del cuadrado se prolonga su lado izquierdo hacia abajo; con centro en el centro del mismo (C) se toma el valor del lado (1) y se traza un arco que corte la prolongación del lado (en A). A partir de este punto se traza una paralela a la base del cuadrado y se divide, a partir de A, en tres segmentos iguales de valor el lado del cuadrado (1), uno hacia la izquierda y los otros hacia la derecha.
El lado CA=1 es un cateto, el lado AB=2 es la hipotenusa y al trazar el segmento que une C con B tenemos el otro cateto CB=3r. Desde el extremo D hasta el centro del cuadrado trazamos una recta y sobre los puntos A y E sendas paralelas a la anterior, que nos dividirán el cateto CD en tres partes iguales, siendo cada una de éstas el valor del radio.
La primera sección con corte en el cuadrado (punto F) nos ajusta directamente el valor del radio, por lo que con centro en C y radio CF trazaremos el círculo de cuadratura.
Diseño del método geométrico:
¡El sencillo método del Radio Medio!
Lo Sencillo es siempre un Logro: Siendo preferible a lo complejo si, en igualdad de circunstancias, resuelven un mismo problema.
El método del Radio Medio es tan simple como calcular la media de los radios inscrito y circunscrito al cuadrado de referencia.
Método del Radio Medio:
El método de construcción: Consiste en hallar el punto medio del segmento diferencia entre el radio inscrito y el circunscrito. Con centro en el centro de dichos círculos trazar un círculo con radio hasta dicho punto medio. Su equivalencia algebraica es la siguiente:
Método inverso al del Radio Medio
Lo complejo, visto desde un lado, puede resultar sencillo desde otro: Realizar un método para encontrar los valores extremos, desconocidos, de un valor medio conocido (el radio del círculo dado es el radio medio) no es posible, pues estos valores resultan indeterminados. Por tanto, solo podemos realizarlo utilizando el método general de Proporcionalidad del Radio de Cuadratura.
Método General de Construcción:
El método de construcción:
Trasladar la dimensión del radio del círculo dado a continuación de éste. En su extremo inicial trazar una segmento inclinado que dividiremos en 10 partes iguales (división proporcional) y tomaremos la aproximación 6 (0,60) que es la que corresponde al radio medio.
A continuación se trazará una recta desde esta aproximación al extremo final del radio trasladado, esto nos dará la fracción decimal del radio de cuadratura en relación al lado del cuadrado, el cual estará determinado por la intersección de una paralela en el extremo (10) del segmento de división proporcional, con la prolongación del radio trasladado.
Este punto de intersección nos da la dimensión del lado del cuadrado, por lo que tomando su mitad como radio (rcir. = L/2) y con centro en el del círculo dado, trazaremos una círculo, que será el inscrito en el cuadrado. Trazando las tangentes a este círculo tendremos construido el cuadrado buscado.
Media Aritmética de los Círculos
¡Un método aproximado, pero preciso!: Para resolver las cuestiones prácticas es una ventaja ser preciso en lo aproximado.
Aunque los valores calculados por este método no son tan aproximados como en otros métodos, tiene la ventaja de proporcionar una construcción precisa del círculo de cuadratura, para un cuadrado determinado.
Este es el cálculo de sus valores:
Si observamos el valor del radio del círculo medio (3/8) podemos comprobar que es el valor que toma la apotema del hexágono inscrito en el círculo circunscrito al cuadrado de referencia.
Si observamos el valor del radio del círculo medio (3/8) podemos comprobar que es el valor que toma la apotema del hexágono inscrito en el círculo circunscrito al cuadrado de referencia.
Veámoslo:
Queda demostrado que la apotema del hexágono inscrito en el círculo circunscrito al cuadrado es, precisamente, el radio del círculo medio (entre el inscrito y el circunscrito), y nos determina una aproximación al círculo de cuadratura.
Método del Hexágono Inscrito
¡Un Método de construcción preciso!: El método inverso del anterior resulta muy sencillo y preciso de construir, aunque siempre dentro de la aproximación considerada.
Diseño del Método:
El método de construcción:
Partiendo del Círculo dado, cuyo radio tomaremos como apotema del hexágono circunscrito, construiremos dicho hexágono.
Para ello trazaremos dos rectas divergentes desde el centro del círculo con un ángulo de divergencia de 60º, siendo la apotema (o radio) la bisectriz de dicho ángulo, que lo divide en dos de 30º. A continuación trazaremos una tangente a la circunferencia en el punto donde el radio toca a la circunferencia y la prolongaremos hasta que corte a las dos rectas divergentes.
La longitud determinada por los puntos de corte nos dará la dimensión del lado del hexágono circunscrito, tomando dicho valor como radio trazaremos el círculo circunscrito al hexágono, que será también el círculo circunscrito al cuadrado que buscamos.
Finalmente trazaremos dos diámetros perpendiculares entre si y los prolongaremos hasta que corten la circunferencia circunscrita. Los puntos de corte nos determinarán los vértices del cuadrado buscado, solamente resta unirlos entre si para dibujar dicho cuadrado.
¿Por qué no con el Pentágono?
¡El Pentágono puede acercarse más! : Si el hexágono se ajusta con exactitud a la aproximación del círculo medio, es presumible que el pentágono, de menos lados, se acerque con mayor aproximación al valor teórico del radio de cuadratura:
L2 = π . r 2 = 1 --> r ~ 0,564189583
Investiguemos esta posibilidad:
¡Una aproximación muy cercana al valor teórico!:
Si el valor teórico del área del círculo de cuadratura y el cuadrado es uno (1), el error absoluto de esta aproximación es:
L2 - A = | 1 - 1,028099542 | ~ 0,0281
¡Menor de tres centésimas!
¡Menor de tres centésimas!
Una aproximación extraordinaria, si además tenemos en cuenta que nos proporciona un preciso método práctico de construcción con regla y compás, según las normas clásicas griegas, que referíamos en la introducción histórica del tema.
A continuación veremos el método práctico inverso para contemplar el problema en su sentido original: partiendo del círculo construir el cuadrado que lo iguale en área.
¡El Método del Pentágono!
¡Rondando la cercanía con precisión!: La proximidad alcanzada con un método de regla y compás (también algebraico) podemos considerarla “cuasi” exacta, teniendo en cuenta que lo haremos según el planteamiento original, es decir: dado el círculo, hallar el cuadrado.
Construyendo el método del Pentágono:
El método de construcción:
El método de construcción basado en el Pentágono se realiza del mismo modo que en el caso anterior del Hexágono, esto es:
Partiendo del Círculo dado, cuyo radio tomaremos como apotema del pentágono circunscrito, construiremos dicho pentágono. Para ello trazaremos dos rectas divergentes desde el centro del círculo con un ángulo de divergencia de 72º, siendo la apotema (o radio) la bisectriz de dicho ángulo, que lo divide en dos de 36º.
A continuación trazaremos una tangente a la circunferencia en el punto donde el radio toca a la circunferencia y la prolongaremos hasta que corte a las dos rectas divergentes.
La longitud determinada por los puntos de corte nos dará la dimensión del lado del pentágono circunscrito, tomando dicho valor como radio trazaremos el círculo circunscrito al pentágono, que será también el círculo circunscrito al cuadrado que buscamos.
Finalmente trazaremos dos diámetros perpendiculares entre si y los prolongaremos hasta que corten la circunferencia circunscrita. Estos puntos de corte nos determinarán los vértices del cuadrado que buscamos, solamente resta unirlos entre si para dibujar el cuadrado buscado.
¡Ordenar para Comparar!
Para elegir es preciso comparar: Con orden es fácil comparar, si se puede comparar resulta fácil elegir, luego el orden es prioritario para una buena elección.
Ordenemos, comparemos, elijamos:
Valor Teórico del Radio | ||||
Método Utilizado | Valor Aprox. del Radio | Valor Aprox. del Área | Error Abs. del Área | Orden Alcanzado |
Pentágono | 1º | |||
Área π / 3 | 2º | |||
Med.Cua.Cír. | 3º | |||
Med.Geo.Cír. | 4º | |||
Med.Geo.Rad. | 4º | |||
Med.Arit.Rad. | 5º | |||
Med.Arit.Cír. (Hexágono) | 6º | |||
CírculosTang. | 7º | |||
Catedral Got. | 8º | |||
Med.Cua.Rad. | 9º | |||
En la ordenación arriba establecida, se evidencia que la aproximación basada en el Pentágono es la más cercana al valor teórico, con un error absoluto menor de 3 centésimas, seguida de cerca por la aproximación del tercer círculo de la serie A = π / n, de área π / 3, con un error absoluto menor de 5 centésimas.
Por todo ello, podemos afirmar que la aproximación basada en el pentágono es la mejor de todas, pudiendo considerarla exacta a efectos prácticos, y además nos proporciona un preciso método de construcción:
¡Es casi tanto como decir que se ha alcanzado la cuadratura de círculo a efectos prácticos!
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