¿Qué es la cuadratura del círculo?
Desde el tiempo de los griegos clásicos se planteó el reto de resolver el problema de cuadrar un círculo.
Origen de la
expresión y su verdadero significado en matemáticas:
Desde los griegos se planteó el reto de resolver el problema de cuadrar un círculo;
es decir, encontrar un cuadrado que
tenga la misma área que la de un círculo dado, pero utilizando
únicamente regla y compás y respetando las normas
de construcción de la Geometría Euclidiana.
Con el tiempo se borró la segunda parte del problema “… con
regla y compás”, y se acortó el enunciado que se popularizó como el reto de la
cuadratura del círculo, mal entendido como la tarea imposible de encontrar un cuadrado que tenga la misma área de
un círculo dado; lo cual no solo es posible, sino que no tiene
mayor dificultad.
“La regla” de los griegos se consideraba libre de escalas;
es decir, no sirve para medir en
unidades de longitud y tampoco tiene dos bordes, de tal manera que no podemos dibujar con ella dos paralelas
directamente; además tiene longitud infinita. Así que una regla solo nos sirve para unir dos puntos ya
construidos a través de un segmento o para prolongar un segmento de recta ya
trazado.
El compás de los griegos también era muy
particular, solamente servia
para trazar circunferencias o arcos de circunferencias cuyo centro sea un punto
dado y cuyo radio sea el segmento entre el centro y otro punto ya
construido. El compás se cierra
cuando hemos hecho el trazo, es decir que después de usado
olvida la distancia que tenía entre sus puntas; “no tiene memoria”.
Contrariamente a lo que se podría creer, sobre estas
condiciones restrictivas para la regla y el compás, se pueden hacer muchas construcciones con esos dos
instrumentos.
Veamos un bonito ejemplo: ¿Cómo trazar una paralela a una
recta dada?
Para esta construcción nos dan un punto P0 exterior a la
recta por el que deberá pasar la recta paralela que se quiere construir. Con el compás y con una abertura cualquiera se traza
un arco con centro en P0 que corte la recta dada. Ese punto de
corte lo llamamos P1.
Desde este nuevo punto como centro y con una abertura hasta P0 se traza otro arco que tendrá
que pasar entonces por el punto P0 y también deberá cortar la recta en un punto
que llamamos P2. Con una abertura de compás igual a la distancia entre los
puntos P2 y P0, tomando como
centro P1 se corta el primer arco trazado para obtener el
punto P3. Uniendo los puntos P0 y P3 con la regla se consigue la recta paralela
buscada.
Pero volviendo a la expresión, hay que tener en cuenta que
el problema de buscar, sin regla y compás, el cuadrado que tenga la misma área
de un círculo dado ha despertado el interés de proponer diferentes métodos de solución con otras
herramientas y se pueden encontrar ingeniosas
construcciones geométricas que prescinden de la manera más directa y simple.
Naturalmente, si
un círculo tiene radio R, entonces su área es:
El problema de la
cuadratura del círculo con regla y compás atrajo a muchos matemáticos durante
siglos. Pero es en 1882 cuando el matemático alemán Ferdinand Lindemann demostró que el problema
no tenía solución. Lindemann concluye, como corolario,
que es imposible cuadrar un
círculo con regla y compás porque el número Pi es un número
trascendente (al igual que su raíz cuadrada), lo cual quiere decir que Pi no puede ser raíz de ningún polinomio (no nulo) con
coeficientes enteros; es decir que Pi no es un número
algebraico, por lo tanto no cumple la condición necesaria para poder llevar a
cabo construcciones de puntos con regla y compás.
La generalización de la
expresión “eso es como resolver la cuadratura del círculo”, ha sido incorporada a nuestro lenguaje para indicar algo es
imposible.
